III. GRAVITACION UNIVERSAL

     Según la ley de la gravitación universal de Newton la aceleración a de caída libre de un cuerpo, como el satélite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante g. Además, la aceleración a es inversamente proporcional la distancia desde el centro de la Tierra,  donde  , K es la constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en a la superficie de la Tierra  y , para determinar k. Si la dirección positiva es hacia arriba, utilice la segunda ley para deducir la ecuación diferencial para la distancia r.

Solución:

 Lo primero a conocer aquí, es a que es igual la fuerza gravitacional en m:

Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como:

    

 Sustituyendo y reduciendo en la ecuación de la fuerza gravitacional:

 =  =  

     La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

    

 Según la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el producto de la masa y la aceleración, donde esta ultima también puede expresarse como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto del tiempo.

           

=

     Eliminando la masa de ambos lados de la ecuación.

 =