DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

  Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

•   Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
•   Ecuaciones en derivadas parciales: aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Solución de una Ecuación Diferencial

Tipos de soluciones

  Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

 1.  Solución general: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X₀,Y₀) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X₀,Y₀), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene            particularizando la solución general.

APLICACIÓN EN LA INGENIERÍA

I. MECÁNICA DE FLUIDOS
     Suponga que el agua sale de un depósito por un orificio circular de área  en su fondo. Cuando el agua sale por el orificio, la fricción y la contracción de la corriente cerca del orificio reducen el  volumen de agua que sale del depósito por segundo , donde c (0 < c < 1) es una constante empírica. Determine la ecuación diferencial para la altura h del agua en el instante t para el depósito que se muestra a continuación. El radio del orificio es de 2 pulg y g=32

Solución:

  

  El volumen del agua en el tanque en el instante 

  t es 

   Con esa ecuación podemos plantear una diferencia entre la altura y el tiempo en el que disminuye el volumen de agua en el recipiente:

=

    Hemos conseguido una ecuación diferencial en base a los parámetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta ecuación usando: 

g = 32

Sustituyendo estos valores para las condiciones establecidas:

= 

                  Comportamiento de la ED para C=1

II. CIRCUITOS

    Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor que se muestra en la figura de al lado. Determine una ecuación diferencial para la carga q(t) en el capacitor, si la resistencia es R, la capacitancia C y el voltaje impreso es E(t).

Solución:

     Sabemos que la capacitancia sobre un circuito en serie se calcula como el inverso de la suma de los inversos. Y la resistencia como una simple suma algebraica. Así el resultado en voltaje de este circuito está determinado por la Segunda Ley de Kirchoffs.

III. GRAVITACION UNIVERSAL

     Según la ley de la gravitación universal de Newton la aceleración a de caída libre de un cuerpo, como el satélite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la superficie terrestre no es la constante g. Además, la aceleración a es inversamente proporcional la distancia desde el centro de la Tierra,  donde  , K es la constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en a la superficie de la Tierra  y , para determinar k. Si la dirección positiva es hacia arriba, utilice la segunda ley para deducir la ecuación diferencial para la distancia r.

Solución:

 Lo primero a conocer aquí, es a que es igual la fuerza gravitacional en m:

Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como:

    

 Sustituyendo y reduciendo en la ecuación de la fuerza gravitacional:

 =  =  

     La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

    

 Según la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el producto de la masa y la aceleración, donde esta ultima también puede expresarse como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto del tiempo.

           

=

     Eliminando la masa de ambos lados de la ecuación.

 =

IV. MODELO DE CRECIMIENTO POBLACIONAL

   Cierto ingeniero decide construir una edificación en una zona urbana con una dinámica de crecimiento dictada por la siguiente ecuación diferencial: , donde k es una constante positiva de la función P(t) de la zona escogida para el estudio. El desea saber qué tipo de crecimiento tiene la población. Grafique el comportamiento de la ecuación. Analice una interpretación para la solución de esta ecuación, y determine qué clase de población considera que describe la gráfica.

                           Solución:

V. DINÁMICA DE CAÍDA

     Cuando un cuerpo, como el paracaidista que aparece en la figura, descendiendo antes de que se abra el paracaídas se mueve con gran rapidez en el aire, la resistencia del mismo es más cerca a una cierta potencia de la velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m, que cae, si la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea.

  La segunda ley de Newton podría describir muy bien este principio.

  Ya dijimos que la fuerza podría llevarse a una diferencial simple

 aplicando la misma ley a la fuerza que provee la sustentación tendríamos:

   En condiciones normales del viento, es decir k, proporcional a la condición de la ecuación, así debería fluctuar la caída para unos valores de v(t) de 0 a 140 m/s.

     Para ver la diferencia desde el punto de vista físico de cuando aun no se ha abierto el paracaídas y después, hacemos una comparación.